Mi capita spesso di ricevere dai lettori di LOTTO GAZZETTA lettere piene di svariate richieste. Molte sono quelle che si aspettano risposte di una svariata quantità di quesiti. Questa volta voglio accontentare tutti colori che hanno chiesto di conoscere quale può essere il ritardo massimo per veder sortire almeno uno di N numeri. Meglio, quanto occorre aspettare in termini di quantità di estrazioni, prima di veder sortire almeno uno di N numeri messi in gioco.
Per calcolare il predetto ritardo massimo occorre prima di tutto calcolare la probabilità contraria alla sortita degli N numeri.
Esempio, siano N = 70 i numeri messi in gioco, la probabilità che nessuno di essi sorta in una estrazione è data dalla formula:
q = C(70,0).C(20,5)/C(90,5) = 15504/43949268 = 0,0003527.
E’ chiaro che essendo 90 tutti i numeri imbussolati, per l’esempio se ne considerano 70, quindi sono 20 tutti gli altri. Se per n estrazioni di seguito dovessero sempre sortire 5 numeri appartenenti ai 20 non posti sotto osservazione, un tale fatto avrebbe una probabilità di verificarsi pari a qn. Il veder sortire “almeno uno” degli N numeri vuol dire proprio negare la possibilità innanzi ipotizzata e quindi dalla probabilità totale che è uguale alla certezza e cioè 1, si ha che P = 1 – qn. Facciamo qn = 1/10000000 = 0,0000001, probabilità sufficientemente piccola che soddisfa le spettative dei giocatori del Lotto. Dunque: P = 1 – qn = 1 – 0,0000001 = 9999999, il che significa che con la probabilità pari ad unedimilionesimo ci aspettiamo l’esito favorevole. La sortita di almeno uno degli N numeri ha una probabilità, così, che può essere paragonata a quelle per l’estrazione di un biglietto bianco da un’urna che contiene 9999999 biglietti bianchi ed uno nero! Ora, per il nostro caso abbiamo: P = 1 (15504/43949268)n = 0,9999999, che risolta rispetto ad n ci dà n = 2. La risposta al nostro quesito è: N = 70 numeri (o lottroni) possono tardare max n = 2 estrazioni (prove) a dare almeno un estratto.
Si può arrivare a conoscere vari valori di N dando di volta in volta un valore ad n? La risposta è affermativa.
Da P = 1 – qn = 0,9999999, per esempio, poniamo n = 4 così: 1 – 0,9999999 = q4, dunque 1/0,00000001 = (1/q)4 in modo che log 10000000 = 4 log (1/q) dalla quale log (1/4) = 7/4 = 1,75 (perché log 10000000 = 7). Ora, l’antilogaritmo di 1,75 è rilevato dalle apposite tavole o servendosi di un piccolo calcolatore che abbia la rispettiva funzione e si ottiene Antlog 1,75 = 56,23413251.
Adesso dobbiamo calcolare q, dunque 1/q = 56,23413251, così q = 1/56,23413251. Poiché deve sempre essere q = x/43949268, allora x/43949268 = 1/56,23413251. Risolvendo quest’ultima, ricaviamo: x = 43949268/56,23513251 = 781540,7839 che sono cinquine. Una tale quantità di cinquine con quanti dei 90 numeri è possibile formare? Facendo dei rapidi calcoli si ottiene che C(41,5) = 749398, mentre C(42,5) = 850668. La quantità prima trovata 781540,78 si trova tra questi ultimi due valori; prendiamo il secondo e calcoliamo:
P = 1 (850668/43949268)4 = 1 – 0,000000014035691 = 9,9999998597, valore sufficientemente vicino a quello ipotizzato P = 0,9999999.
Tutto ciò significa che N= (90-42) = 48 numeri (o lottroni) possono tardare teoricamente 4 prove a dare almeno un estratto.
Con lo stesso metodo si può, facilmente, ricavare la seguente tabella:
N = da 90 a 86 numeri possono tardare max 0 (zero) prove per dare almeno un estratto (ovvero, in ogni prova vi è almeno uno degli 86);
N = da 85 a 71 numeri possono tardare max = 2 prove a dare almeno uno;
N = 57 numeri possono tardare max = 3 prove per dare almeno uno estratto;
N = 48 “ “ “ “ 4 “ “ “ “ “ “
N = 41 “ “ “ “ 5 “ “ “ “ “ “
N = 32 “ “ “ “ 7 “ “ “ “ “ “
N = 30 “ “ “ “ 8 “ “ “ “ “ “
N = 10 “ “ “ “ 27 “ “ “ “ “ “
N = 5 “ “ “ “ 55 “ “ “ “ “ “
N = 4 “ “ “ “ 69 “ “ “ “ “ “
N = 3 “ “ “ “ 93 “ “ “ “ “ “
N = 2 “ “ “ “ 141 “ “ “ “ “ “
N = 1 “ “ “ “ 243 “ “ “ “ “ “
Gli altri valori non sono stati riportati per ragioni di spazio, ma essi sono facilmente calcolabili.
Spero di aver soddisfatto la curiosità di tutti gli affezionati lettori che mi hanno posto il quesito. Le cifre sono aride, le formule spesso fastidiose, ma la matematica non si può farla solo con le chiacchiere!
(Tratto dagli archivi di Lotto Gazzetta)
Indicazioni di gioco dalle estrazioni del lotto di oggi 02/08/2016
Firenze ambi secchi 31.32, 31.34, 33.32, 33.34
Sig. Pinna buonasera. Quando ho letto il suo articolo RITARDO DI “N” NUMERI, sono rimasto piacevolmente sorpreso, perchè se non erro, è già un po che non presenta articoli simili. Però essendo curioso (in passato l’ho tormentata piu’ di una volta, se ricorda, con quesiti statistici a cui lei peraltro ha sempre risposto con cortesia e competenza) sono andato a verificare come stanno attualmente le cose, nei vari tabelloni di tutte le ruote.Nel suo articolo dice (se non ho capito male, ed è per questo che le scrivo,) che per esempio,5 numeri a ruota possono tardare max 55 estrazioni. A Bari attualmente 6 numeri tardano 56 colpi, nelle sole estrazioni del martedi’ a Palermo ci sono 5 numeri con 65 estrazioni di ritardo e 8 con 55. Qualcosa non mi torna ! Help Roberto Barattini
Sig. Barattini buonasera,
L’articolo tende a sottolineare i tempi massimi TEORICI d’attesa, calcolati con il concetto della probabilità.
Come nel caso dell’Aspettabilità, possiamo trovarci nella condizione di assistere ad un eccesso, oppure a un difetto, di numeri per certe classi di ritardo.
E’ svolgendo questi calcoli che si possono individuare particolari situazioni statistiche giunte allo stremo che, per ovvie ragioni di riequilibrio statistico, hanno maggiori chance di vedersi sfaldate. La ringrazio per i Suoi soliti complimenti (nell’altro commento).
So bene che questi argomenti possono solleticare le meningi di qualcuno (Lei ad esempio), tuttavia interessano a pochi come noi. Il lotto, me ne sto sempre più rendendo conto, non è solo quello che riflette il nostro carattere, ma è anche il lotto degli Altri.
Nel senso che qualsiasi tipo di approccio, se studiato scientemente, è in grado di fornire le stesse e identiche “garanzie” di vincita di una qualsiasi statistica svolta su di un metodo di qualsiasi natura esso sia.
Concludo dicendo che l’obiettivo finale è vincere, naturalmente non vincere giocando ad occhi chiusi, ma avere la più ampia visuale possibile, magari anche studiando statisticamente quello che non rientra nel nostro modo naturale di vedere le cose, perché nessun pregiudizio deve offuscare il fine ultimo della ricerca SCIENTIFICA.