Mi capita spesso di ricevere dai lettori di LOTTO GAZZETTA lettere piene di svariate richieste. Molte sono quelle che si aspettano risposte di una svariata quantità di quesiti. Questa volta voglio accontentare tutti colori che hanno chiesto di conoscere quale può essere il ritardo massimo per veder sortire almeno uno di N numeri. Meglio, quanto occorre aspettare in termini di quantità di estrazioni, prima di veder sortire almeno uno di N numeri messi in gioco.
Per calcolare il predetto ritardo massimo occorre prima di tutto calcolare la probabilità contraria alla sortita degli N numeri.
Esempio, siano N = 70 i numeri messi in gioco, la probabilità che nessuno di essi sorta in una estrazione è data dalla formula:
q = C(70,0).C(20,5)/C(90,5) = 15504/43949268 = 0,0003527.
E’ chiaro che essendo 90 tutti i numeri imbussolati, per l’esempio se ne considerano 70, quindi sono 20 tutti gli altri. Se per n estrazioni di seguito dovessero sempre sortire 5 numeri appartenenti ai 20 non posti sotto osservazione, un tale fatto avrebbe una probabilità di verificarsi pari a qn. Il veder sortire “almeno uno” degli N numeri vuol dire proprio negare la possibilità innanzi ipotizzata e quindi dalla probabilità totale che è uguale alla certezza e cioè 1, si ha che P = 1 – qn. Facciamo qn = 1/10000000 = 0,0000001, probabilità sufficientemente piccola che soddisfa le spettative dei giocatori del Lotto. Dunque: P = 1 – qn = 1 – 0,0000001 = 9999999, il che significa che con la probabilità pari ad unedimilionesimo ci aspettiamo l’esito favorevole. La sortita di almeno uno degli N numeri ha una probabilità, così, che può essere paragonata a quelle per l’estrazione di un biglietto bianco da un’urna che contiene 9999999 biglietti bianchi ed uno nero! Ora, per il nostro caso abbiamo: P = 1 (15504/43949268)n = 0,9999999, che risolta rispetto ad n ci dà n = 2. La risposta al nostro quesito è: N = 70 numeri (o lottroni) possono tardare max n = 2 estrazioni (prove) a dare almeno un estratto.
Si può arrivare a conoscere vari valori di N dando di volta in volta un valore ad n? La risposta è affermativa.
Da P = 1 – qn = 0,9999999, per esempio, poniamo n = 4 così: 1 – 0,9999999 = q4, dunque 1/0,00000001 = (1/q)4 in modo che log 10000000 = 4 log (1/q) dalla quale log (1/4) = 7/4 = 1,75 (perché log 10000000 = 7). Ora, l’antilogaritmo di 1,75 è rilevato dalle apposite tavole o servendosi di un piccolo calcolatore che abbia la rispettiva funzione e si ottiene Antlog 1,75 = 56,23413251.
Adesso dobbiamo calcolare q, dunque 1/q = 56,23413251, così q = 1/56,23413251. Poiché deve sempre essere q = x/43949268, allora x/43949268 = 1/56,23413251. Risolvendo quest’ultima, ricaviamo: x = 43949268/56,23513251 = 781540,7839 che sono cinquine. Una tale quantità di cinquine con quanti dei 90 numeri è possibile formare? Facendo dei rapidi calcoli si ottiene che C(41,5) = 749398, mentre C(42,5) = 850668. La quantità prima trovata 781540,78 si trova tra questi ultimi due valori; prendiamo il secondo e calcoliamo:
P = 1 (850668/43949268)4 = 1 – 0,000000014035691 = 9,9999998597, valore sufficientemente vicino a quello ipotizzato P = 0,9999999.
Tutto ciò significa che N= (90-42) = 48 numeri (o lottroni) possono tardare teoricamente 4 prove a dare almeno un estratto.
Con lo stesso metodo si può, facilmente, ricavare la seguente tabella:
N = da 90 a 86 numeri possono tardare max 0 (zero) prove per dare almeno un estratto (ovvero, in ogni prova vi è almeno uno degli 86);
N = da 85 a 71 numeri possono tardare max = 2 prove a dare almeno uno;
N = 57 numeri possono tardare max = 3 prove per dare almeno uno estratto;
N = 48 “ “ “ “ 4 “ “ “ “ “ “
N = 41 “ “ “ “ 5 “ “ “ “ “ “
N = 32 “ “ “ “ 7 “ “ “ “ “ “
N = 30 “ “ “ “ 8 “ “ “ “ “ “
N = 10 “ “ “ “ 27 “ “ “ “ “ “
N = 5 “ “ “ “ 55 “ “ “ “ “ “
N = 4 “ “ “ “ 69 “ “ “ “ “ “
N = 3 “ “ “ “ 93 “ “ “ “ “ “
N = 2 “ “ “ “ 141 “ “ “ “ “ “
N = 1 “ “ “ “ 243 “ “ “ “ “ “
Gli altri valori non sono stati riportati per ragioni di spazio, ma essi sono facilmente calcolabili.
Spero di aver soddisfatto la curiosità di tutti gli affezionati lettori che mi hanno posto il quesito. Le cifre sono aride, le formule spesso fastidiose, ma la matematica non si può farla solo con le chiacchiere!
(Tratto dagli archivi di Lotto Gazzetta)
Indicazioni di gioco dalle estrazioni del lotto di oggi 02/08/2016
Firenze ambi secchi 31.32, 31.34, 33.32, 33.34
