I filosofi pitagorici dell’antica Grecia avevano un profondo rispetto per i numeri. L’aritmetica e la geometria erano custodite come una forma di conoscenza segreta da divulgare solo a pochi privilegiati.
Credevano che l’Universo stesso fosse una manifestazione di numeri e geometria, così che esplorando la matematica stavano acquisendo intuizioni in uno strato più profondo della realtà cosmica. Fu quindi un profondo shock quando i Pitagorici scoprirono che alcuni numeri giacevano al di fuori del loro ordinato schema intellettuale.
Da piccoli, impariamo innanzitutto a contare i numeri interi, 1, 2, 3 … che i matematici chiamano numeri “naturali”. Quindi vengono insegnate le frazioni, che sono espresse come il rapporto tra numeri naturali, come 2/5 o 1/3. Dopo vengono i decimali.
Ogni frazione, apprendiamo, può essere espressa come decimale, ad esempio 2/5 = 0.4 e 1/3 = 0.33333 … (dove “…” indica che la successione di 3s continua all’infinito). Ma è vero il contrario? È possibile esprimere ogni decimale come frazione?
Per essere sicuri, i decimali a lunghezza finita possono sempre essere espressi come frazioni, ad esempio 0.43857 = 43857/100000. Per quanto riguarda i decimali a lunghezza infinita, comunque? Bene, la ripetizione delle espansioni decimali può essere espressa come frazioni, ad esempio 0,33333 … = 1/3 e 0,285714285714285714 … = 2/7. Ma supponiamo che l’espansione decimale non si ripeta? Dopo tutto, c’è un’infinità di tali numeri!
I primi Pitagorici erano convinti che in teoria ogni numero concepibile potesse essere scritto in forma frazionaria, come il rapporto tra due numeri naturali. Dato che c’è un’infinita quantità di numeri naturali, pensavano, ci deve essere abbastanza per fare il lavoro. La scoperta che questa era una credenza errata, probabilmente dal geometra Ippaso nel V secolo aEV, era una notizia scioccante. Secondo la leggenda, Ippasus fu scagliato da una barca e annegato per impedire che la verità venisse ampiamente conosciuta, tale era la sua minaccia al concetto di ordine pitagorico nell’universo.
Ancora oggi, i numeri che non possono essere espressi come un rapporto di numeri naturali sono chiamati numeri irrazionali, anche se hanno perfettamente senso per i matematici moderni.
In realtà è facile capire perché alcuni numeri sono irrazionali. Un esempio famoso è la radice quadrata di 2, che è approssimativamente 1.4142, e denotata √2.
Se √2 fosse razionale, deve essere espresso nella forma a / b, dove a e b sono numeri naturali (cioè numeri interi). Possiamo scrivere questo in forma di equazione, √2 = a / b, quindi dargli un rapido calcio matematico delle gomme.
Per cominciare, sappiamo che almeno uno dei due numeri sconosciuti, aeb, deve essere dispari. Se entrambi fossero pari, potremmo dividere la parte superiore e quella inferiore per 2 e ridurre la frazione a un rapporto di numeri più piccoli (ad esempio 2/8, che si riduce a 1/4).
Ora vediamo l’equazione da un paio di angoli diversi. Se quadriamo entrambi i lati dell’equazione √2 = a / b otteniamo
2 = a 2 / b 2 (1)
che può essere scritto come
a 2 = 2b 2 . (2)
Possiamo immediatamente concludere che un 2 è un numero pari. Perché? Perché è due volte b 2 . Moltiplicare qualsiasi numero naturale per due (e sappiamo che b è un numero naturale) e la risposta è uniforme. Quindi un 2 deve essere pari.
Ora se un 2 è pari, allora lo è anche un (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari). Poiché abbiamo già specificato che aeb non possono essere entrambi pari, possiamo dedurre che b deve essere dispari. Fin qui tutto bene. Le campane d’allarme iniziano a squillare, tuttavia, quando notiamo che se a è pari potrebbe sempre essere espresso come 2c, dove c è un altro numero naturale. Sostituendo questo in equazione (1), otteniamo
2 = 4c 2 / b 2
o, riorganizzando l’equazione e dividendo per 2,
b 2 = 2c 2 .
Con lo stesso ragionamento che segue l’equazione (2), concludiamo che b deve essere un numero pari. Ma abbiamo già stabilito che b è strano, quindi arriviamo alla conclusione assurda che b sia pari e dispari – chiaramente impossibile. Il ragionamento imperfetto deriva dall’assunto di partenza che √2 può essere espresso come un rapporto di numeri interi. Non può; è “irrazionale”.
Si scopre che quasi tutti i numeri sono irrazionali, compresi alcuni famosi come π e φ, il Golden Ratio ( Cosmos 65, pagina 120).
C’è un numero illimitato di numeri sia razionali che irrazionali, eppure ci sono in qualche modo numeri più irrazionali che razionali – formano una classe più grande di infinito.
Non apprezzare questo fatto spesso ingannò gli antichi greci e portò a tutti i tipi di paradossi fino a quando il soggetto dell’infinito fu alla fine risolto nel 19 ° secolo.
Oggi possiamo vedere che i numeri irrazionali non sono un disastro, ma semplicemente un’estensione del sistema numerico, così come le frazioni sono state introdotte come un’estensione dei numeri naturali.
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